Bêta désendetté et réendetté : formule de Hamada
L'estimation du coût des fonds propres d'une société non cotée est une question récurrente à l'épreuve d'UE2 Finance du DSCG. Le correcteur attend que vous sachiez utiliser la méthode des comparables cotés, désendetter leur bêta, puis le réendetter selon la structure financière cible. Ce point est très discriminant : une erreur de formule ou d'application vous coûte plusieurs points. Voici la démarche pas à pas.
Pourquoi ne peut-on pas utiliser directement le bêta des comparables ?
Le bêta des capitaux propres (βCP) d'une société cotée reflète trois facteurs : la sensibilité de son activité à la conjoncture, son levier opérationnel (poids des coûts fixes) et son levier financier (endettement). Les deux premiers sont liés au secteur d'activité, mais le troisième dépend de la politique de financement propre à chaque entreprise. Ainsi, deux sociétés du même secteur peuvent avoir des βCP très différents si leurs structures d'endettement diffèrent. Pour évaluer une société non cotée, on ne peut donc pas reprendre directement le βCP d'un comparable : il faut d'abord « désendetter » ce bêta pour éliminer l'effet de la dette, puis le « réendetter » avec la structure cible de la société à évaluer.
Les trois étapes de la méthode
Étape 1 : Désendetter le bêta des sociétés comparables
Le bêta désendetté, aussi appelé bêta de l'actif économique (βa), s'obtient par la formule suivante :
βa = βCP × (CP / (CP + DFN)) + βDFN × (DFN / (CP + DFN))
Où :
- CP = capitaux propres (valeur de marché)
- DFN = dette financière nette (valeur de marché, souvent approchée par la valeur comptable)
- βDFN = bêta de la dette financière nette
Le βDFN se calcule à partir du coût de la dette (Rd) : βDFN = (Rd - Rf) / (Rm - Rf)
Étape 2 : Calculer la moyenne des bêta désendettés
On fait la moyenne arithmétique simple des βa des comparables retenus.
Étape 3 : Réendetter le bêta pour la société cible
On applique la formule de Hamada (ou formule de l'effet de levier) :
βCP cible = βa moyen + (βa moyen - βDFN cible) × (DFN cible / CP cible)
Où βDFN cible est calculé avec le coût de la dette de la société cible.
Exemple chiffré
Prenons une société non cotée, avec les données suivantes :
- Capitaux propres cibles : 150 M€
- Dette financière nette cible : 50 M€
- Coût de la dette (Rd) : 2,50 %
- Taux sans risque (Rf) : 1 %
- Rendement du marché (Rm) : 5 %
Deux sociétés comparables cotées :
| Comparable |
βCP |
βDFN |
CP (M€) |
DFN (M€) |
| A |
1,2 |
0,3 |
500 |
700 |
| B |
1,05 |
0,15 |
600 |
350 |
Étape 1 : Désendettement
βa A = 1,2 × (500 / (500+700)) + 0,3 × (700 / (500+700)) = 1,2 × 0,4167 + 0,3 × 0,5833 = 0,5 + 0,175 = 0,675
βa B = 1,05 × (600 / (600+350)) + 0,15 × (350 / (600+350)) = 1,05 × 0,6316 + 0,15 × 0,3684 = 0,663 + 0,055 = 0,718
Étape 2 : Moyenne
βa moyen = (0,675 + 0,718) / 2 = 0,697
Étape 3 : Réendettement
βDFN cible = (Rd - Rf) / (Rm - Rf) = (2,50 % - 1 %) / (5 % - 1 %) = 1,5 % / 4 % = 0,375
βCP cible = 0,697 + (0,697 - 0,375) × (50 / 150) = 0,697 + 0,322 × 0,3333 = 0,697 + 0,107 = 0,804
Le βCP de la société non cotée est donc de 0,804. Ce bêta est plus faible que celui des comparables, ce qui s'explique par un endettement plus modéré (gearing de 50/150 = 0,33 contre 0,7 et 0,58 pour A et B).
Schéma récapitulatif
flowchart TD
A["Comparables cotés"] --> B["βCP et βDFN"]
B --> C["Désendettement : βa = βCP*(CP/(CP+DFN)) + βDFN*(DFN/(CP+DFN))"]
C --> D["Moyenne des βa"]
D --> E["Réendettement : βCP cible = βa moyen + (βa moyen - βDFN cible) * (DFN/CP) cible"]
E --> F["Coût des CP via MEDAF : RCP = Rf + βCP cible * (Rm - Rf)"]
Les erreurs fréquentes
- Oublier de désendetter le βCP des comparables : on ne peut pas utiliser directement leur βCP.
- Confondre βa et βCP : le βa est toujours inférieur au βCP (sauf si DFN = 0).
- Utiliser la formule de réendettement sans le βDFN : la formule complète est βCP = βa + (βa - βDFN) × DFN/CP.
- Calculer le βDFN avec le coût de la dette après impôt : le βDFN se calcule avec le Rd avant impôt.
- Prendre des valeurs comptables pour CP et DFN des comparables : il faut des valeurs de marché, mais en pratique on utilise souvent les valeurs comptables faute de mieux.
FAQ
Quelle est la formule de Hamada ?
La formule de Hamada permet de réendetter un bêta désendetté : βCP = βa + (βa - βDFN) × (DFN/CP). Elle est analogue à l'effet de levier financier.
Comment calculer le bêta de la dette (βDFN) ?
βDFN = (Rd - Rf) / (Rm - Rf), où Rd est le coût de la dette avant impôt, Rf le taux sans risque et Rm le rendement du marché.
Pourquoi désendetter le bêta ?
Pour isoler le risque économique (lié à l'activité) du risque financier (lié à l'endettement). Cela permet de comparer des sociétés avec des structures financières différentes.
Que faire si les comparables ont des βDFN différents ?
On calcule un βa pour chaque comparable, puis on fait la moyenne. On utilise ensuite un βDFN propre à la cible pour le réendettement.
Entraînez-vous
Mini-cas 1 :
Une société non cotée a un gearing cible (DFN/CP) de 1 (soit DFN = CP). Le taux sans risque est de 2 %, le rendement du marché de 6 %. Le coût de la dette de la cible est de 3 %. Un comparable coté a un βCP de 1,2, un βDFN de 0,2, et un gearing de 0,5 (DFN/CP = 0,5). Calculez le βCP de la société non cotée.
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Étape 1 : Désendettement du comparable
Part des CP = 1 / (1+0,5) = 0,6667 ; part de la DFN = 0,5 / 1,5 = 0,3333.
βa = 1,2 × 0,6667 + 0,2 × 0,3333 = 0,8 + 0,0667 = 0,8667.
Étape 2 : Réendettement pour la cible
βDFN cible = (3 % - 2 %) / (6 % - 2 %) = 1 % / 4 % = 0,25.
βCP cible = 0,8667 + (0,8667 - 0,25) × 1 = 0,8667 + 0,6167 = 1,4834.
Le βCP de la société non cotée est d'environ 1,48.
Mini-cas 2 :
Vous évaluez une société non cotée avec les données suivantes : CP cible = 200 M€, DFN cible = 80 M€, Rd = 4 %, Rf = 1,5 %, Rm = 5,5 %. Deux comparables :
- Société X : βCP = 1,3, βDFN = 0,3, gearing = 0,6.
- Société Y : βCP = 1,1, βDFN = 0,1, gearing = 0,4.
Calculez le βCP de la cible.
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Étape 1 : Désendettement
Pour X : part CP = 1/(1+0,6) = 0,625 ; part DFN = 0,6/1,6 = 0,375.
βa X = 1,3 × 0,625 + 0,3 × 0,375 = 0,8125 + 0,1125 = 0,925.
Pour Y : part CP = 1/(1+0,4) = 0,7143 ; part DFN = 0,4/1,4 = 0,2857.
βa Y = 1,1 × 0,7143 + 0,1 × 0,2857 = 0,7857 + 0,0286 = 0,8143.
Étape 2 : Moyenne
βa moyen = (0,925 + 0,8143) / 2 = 0,8697.
Étape 3 : Réendettement
βDFN cible = (4 % - 1,5 %) / (5,5 % - 1,5 %) = 2,5 % / 4 % = 0,625.
βCP cible = 0,8697 + (0,8697 - 0,625) × (80/200) = 0,8697 + 0,2447 × 0,4 = 0,8697 + 0,0979 = 0,9676.
Le βCP de la cible est d'environ 0,97.