Bêta désendetté et réendetté : formule de Hamada

L'estimation du coût des fonds propres d'une société non cotée est une question récurrente à l'épreuve d'UE2 Finance du DSCG. Le correcteur attend que vous sachiez utiliser la méthode des comparables cotés, désendetter leur bêta, puis le réendetter selon la structure financière cible. Ce point est très discriminant : une erreur de formule ou d'application vous coûte plusieurs points. Voici la démarche pas à pas.

Pourquoi ne peut-on pas utiliser directement le bêta des comparables ?

Le bêta des capitaux propres (βCP) d'une société cotée reflète trois facteurs : la sensibilité de son activité à la conjoncture, son levier opérationnel (poids des coûts fixes) et son levier financier (endettement). Les deux premiers sont liés au secteur d'activité, mais le troisième dépend de la politique de financement propre à chaque entreprise. Ainsi, deux sociétés du même secteur peuvent avoir des βCP très différents si leurs structures d'endettement diffèrent. Pour évaluer une société non cotée, on ne peut donc pas reprendre directement le βCP d'un comparable : il faut d'abord « désendetter » ce bêta pour éliminer l'effet de la dette, puis le « réendetter » avec la structure cible de la société à évaluer.

Les trois étapes de la méthode

Étape 1 : Désendetter le bêta des sociétés comparables

Le bêta désendetté, aussi appelé bêta de l'actif économique (βa), s'obtient par la formule suivante :

βa = βCP × (CP / (CP + DFN)) + βDFN × (DFN / (CP + DFN))

Où :

• CP = capitaux propres (valeur de marché)
• DFN = dette financière nette (valeur de marché, souvent approchée par la valeur comptable)
• βDFN = bêta de la dette financière nette

Le βDFN se calcule à partir du coût de la dette (Rd) : βDFN = (Rd - Rf) / (Rm - Rf)

Étape 2 : Calculer la moyenne des bêta désendettés

On fait la moyenne arithmétique simple des βa des comparables retenus.

Étape 3 : Réendetter le bêta pour la société cible

On applique la formule de Hamada (ou formule de l'effet de levier) :

βCP cible = βa moyen + (βa moyen - βDFN cible) × (DFN cible / CP cible)

Où βDFN cible est calculé avec le coût de la dette de la société cible.

Exemple chiffré

Prenons une société non cotée, avec les données suivantes :

• Capitaux propres cibles : 150 M€
• Dette financière nette cible : 50 M€
• Coût de la dette (Rd) : 2,50 %
• Taux sans risque (Rf) : 1 %
• Rendement du marché (Rm) : 5 %

Deux sociétés comparables cotées :

Étape 1 : Désendettement

βa A = 1,2 × (500 / (500+700)) + 0,3 × (700 / (500+700)) = 1,2 × 0,4167 + 0,3 × 0,5833 = 0,5 + 0,175 = 0,675

βa B = 1,05 × (600 / (600+350)) + 0,15 × (350 / (600+350)) = 1,05 × 0,6316 + 0,15 × 0,3684 = 0,663 + 0,055 = 0,718

Étape 2 : Moyenne

βa moyen = (0,675 + 0,718) / 2 = 0,697

Étape 3 : Réendettement

βDFN cible = (Rd - Rf) / (Rm - Rf) = (2,50 % - 1 %) / (5 % - 1 %) = 1,5 % / 4 % = 0,375

βCP cible = 0,697 + (0,697 - 0,375) × (50 / 150) = 0,697 + 0,322 × 0,3333 = 0,697 + 0,107 = 0,804

Le βCP de la société non cotée est donc de 0,804. Ce bêta est plus faible que celui des comparables, ce qui s'explique par un endettement plus modéré (gearing de 50/150 = 0,33 contre 0,7 et 0,58 pour A et B).

Schéma récapitulatif

flowchart TD
    A["Comparables cotés"] --> B["βCP et βDFN"]
    B --> C["Désendettement : βa = βCP*(CP/(CP+DFN)) + βDFN*(DFN/(CP+DFN))"]
    C --> D["Moyenne des βa"]
    D --> E["Réendettement : βCP cible = βa moyen + (βa moyen - βDFN cible) * (DFN/CP) cible"]
    E --> F["Coût des CP via MEDAF : RCP = Rf + βCP cible * (Rm - Rf)"]

Les erreurs fréquentes

• Oublier de désendetter le βCP des comparables : on ne peut pas utiliser directement leur βCP.
• Confondre βa et βCP : le βa est toujours inférieur au βCP (sauf si DFN = 0).
• Utiliser la formule de réendettement sans le βDFN : la formule complète est βCP = βa + (βa - βDFN) × DFN/CP.
• Calculer le βDFN avec le coût de la dette après impôt : le βDFN se calcule avec le Rd avant impôt.
• Prendre des valeurs comptables pour CP et DFN des comparables : il faut des valeurs de marché, mais en pratique on utilise souvent les valeurs comptables faute de mieux.

FAQ

Quelle est la formule de Hamada ?

La formule de Hamada permet de réendetter un bêta désendetté : βCP = βa + (βa - βDFN) × (DFN/CP). Elle est analogue à l'effet de levier financier.

Comment calculer le bêta de la dette (βDFN) ?

βDFN = (Rd - Rf) / (Rm - Rf), où Rd est le coût de la dette avant impôt, Rf le taux sans risque et Rm le rendement du marché.

Pourquoi désendetter le bêta ?

Pour isoler le risque économique (lié à l'activité) du risque financier (lié à l'endettement). Cela permet de comparer des sociétés avec des structures financières différentes.

Que faire si les comparables ont des βDFN différents ?

On calcule un βa pour chaque comparable, puis on fait la moyenne. On utilise ensuite un βDFN propre à la cible pour le réendettement.

Entraînez-vous

Mini-cas 1 :

Une société non cotée a un gearing cible (DFN/CP) de 1 (soit DFN = CP). Le taux sans risque est de 2 %, le rendement du marché de 6 %. Le coût de la dette de la cible est de 3 %. Un comparable coté a un βCP de 1,2, un βDFN de 0,2, et un gearing de 0,5 (DFN/CP = 0,5). Calculez le βCP de la société non cotée.

Mini-cas 2 :

Vous évaluez une société non cotée avec les données suivantes : CP cible = 200 M€, DFN cible = 80 M€, Rd = 4 %, Rf = 1,5 %, Rm = 5,5 %. Deux comparables :

• Société X : βCP = 1,3, βDFN = 0,3, gearing = 0,6.
• Société Y : βCP = 1,1, βDFN = 0,1, gearing = 0,4.

Calculez le βCP de la cible.