VANG et TRIG : les critères globaux expliqués

Lorsque vous comparez deux projets d'investissement avec les critères classiques VAN et TRI, il arrive que les conclusions divergent : la VAN favorise un projet, le TRI un autre. Cette contradiction provient de l'hypothèse implicite de réinvestissement des flux intermédiaires. La VAN suppose un réinvestissement au coût du capital (CMPC), le TRI au taux de rendement interne du projet. Pour lever cette hypothèse et rétablir la cohérence, on utilise la VAN globale (VANG) et le TRI global (TRIG). Ces critères sont au programme du DSCG UE2 Finance et peuvent tomber à l'épreuve. Voici comment les calculer pas à pas.

L'hypothèse de réinvestissement : source de la contradiction

Les flux de trésorerie intermédiaires d'un projet sont supposés être réinvestis à un certain taux jusqu'à la fin de la durée du projet. Selon le critère utilisé, ce taux diffère :

• Avec la VAN : les flux sont réinvestis au coût du capital (CMPC).
• Avec le TRI : les flux sont réinvestis au TRI du projet.

Or, en pratique, il est difficile de réinvestir à un taux aussi élevé que le TRI (souvent supérieur au CMPC). Cette différence de taux de réinvestissement explique que les deux critères puissent classer les projets différemment. Pour lever cette ambiguïté, on fixe un taux de réinvestissement unique et explicite, noté t.

La VAN globale (VANG) : capitalisation puis actualisation

La VANG consiste à :

1. Capitaliser tous les flux intermédiaires (de l'année 1 à n-1) au taux de réinvestissement t jusqu'à la dernière année (n).
2. Ajouter le flux de l'année n (non capitalisé).
3. Actualiser le total obtenu au coût du capital (CMPC) pour obtenir la valeur en année 0.
4. Soustraire l'investissement initial I.

Formule :

$VANG = -I + \frac{\sum_{k=1}^{n} F_k \times (1+t)^{n-k}}{(1+k)^n}$

Où :

• (F_k) = flux de trésorerie de l'année k
• (t) = taux de réinvestissement explicite
• (k) = coût du capital (CMPC)
• (n) = durée du projet

Le TRI global (TRIG) : taux d'actualisation qui annule la VANG

Le TRIG est le taux d'actualisation (r) tel que la VANG = 0. Il se calcule en résolvant :

$-I + \frac{\sum_{k=1}^{n} F_k \times (1+t)^{n-k}}{(1+r)^n} = 0$

Soit :

$(1+r)^n = \frac{\sum_{k=1}^{n} F_k \times (1+t)^{n-k}}{I}$

D'où :

$r = \left( \frac{\sum_{k=1}^{n} F_k \times (1+t)^{n-k}}{I} \right)^{1/n} - 1$

Contrairement au TRI classique, le TRIG peut être calculé sans fonction financière, par simple extraction de racine n-ième.

Exemple chiffré

Reprenons les données du cours source : deux projets mutuellement exclusifs, avec un CMPC de 11 % et un taux de réinvestissement explicite de 5 %.

Calcul de la VANG du projet 1 :

Capitalisation des flux au taux t = 5 % :

• Flux année 1 capitalisé sur 2 ans : 550 × (1,05)^2 = 550 × 1,1025 = 606,375
• Flux année 2 capitalisé sur 1 an : 780 × (1,05)^1 = 780 × 1,05 = 819,00
• Flux année 3 (non capitalisé) : 1 200
• Total capitalisé en année 3 : 606,375 + 819,00 + 1 200 = 2 625,375

Actualisation au CMPC de 11 % : 2 625,375 / (1,11)^3 = 2 625,375 / 1,367631 = 1 919,56

VANG = -1 750 + 1 919,56 = 169,56 (arrondi à 170)

Calcul de la VANG du projet 2 :

Capitalisation :

• Flux année 1 : 850 × (1,05)^2 = 850 × 1,1025 = 937,125
• Flux année 2 : 1 650 × 1,05 = 1 732,50
• Flux année 3 : 2 300
• Total : 937,125 + 1 732,50 + 2 300 = 4 969,625

Actualisation : 4 969,625 / 1,367631 = 3 633,56

VANG = -3 500 + 3 633,56 = 133,56 (arrondi à 134)

Calcul du TRIG du projet 1 :

Somme capitalisée = 2 625,375 ; I = 1 750

(1 + r)^3 = 2 625,375 / 1 750 = 1,500214

1 + r = (1,500214)^(1/3) = 1,500214^0,3333 = 1,1448

r = 0,1448 soit 14,48 %

Calcul du TRIG du projet 2 :

Somme capitalisée = 4 969,625 ; I = 3 500

(1 + r)^3 = 4 969,625 / 3 500 = 1,419893

1 + r = 1,419893^0,3333 = 1,1240

r = 0,1240 soit 12,40 %

Comparaison avec les critères classiques :

Avec les critères classiques, la VAN favorise le projet 2 et le TRI favorise le projet 1 : contradiction. Avec la VANG et le TRIG (même taux de réinvestissement), les deux critères classent le projet 1 en tête (VANG 170 > 134 et TRIG 14,48 % > 12,40 %). La cohérence est rétablie.

Les erreurs fréquentes

• Confondre VAN et VANG : la VANG capitalise les flux au taux de réinvestissement avant actualisation ; la VAN actualise directement les flux.
• Oublier que le flux de la dernière année n'est pas capitalisé : il est déjà en année n, on ne le multiplie pas par (1+t).
• Utiliser le CMPC comme taux de réinvestissement dans la VANG : le taux de réinvestissement est un taux explicite, souvent différent du CMPC.
• Calculer le TRIG comme un TRI classique : le TRIG se résout par formule fermée, pas par itération.
• Ne pas vérifier la cohérence des classements : après calcul de la VANG et du TRIG, les deux critères doivent classer les projets dans le même ordre (sinon revoir les calculs).

FAQ

Qu'est-ce que la VAN globale (VANG) ?

La VANG est une variante de la VAN qui explicite le taux de réinvestissement des flux intermédiaires. On capitalise d'abord tous les flux (sauf le dernier) à ce taux jusqu'à la fin du projet, puis on actualise le total au CMPC. Elle permet de lever l'hypothèse implicite de réinvestissement au CMPC.

Comment calculer le TRI global (TRIG) ?

Le TRIG est le taux d'actualisation qui annule la VANG. Il se calcule par : ( r = \left( \frac{\text{somme capitalisée}}{I} \right)^{1/n} - 1 ). Il ne nécessite pas de solveur.

Pourquoi utilise-t-on un taux de réinvestissement explicite ?

Pour éviter la contradiction entre VAN et TRI due à des hypothèses de réinvestissement différentes. En fixant un taux unique (souvent le CMPC ou un taux prudent), on compare les projets sur une base cohérente.

La VANG et le TRIG sont-ils toujours cohérents ?

Oui, car ils reposent sur la même hypothèse de réinvestissement. Si la VANG d'un projet est supérieure, son TRIG est également supérieur (à condition que les projets aient la même durée et le même risque).

Entraînez-vous

Mini-cas :

Une société hésite entre deux projets d'investissement de 3 ans. Le CMPC est de 8 % et le taux de réinvestissement explicite est de 5 %. Les flux sont les suivants (en K€) :

Calculez la VANG et le TRIG de chaque projet. Quel projet recommandez-vous ?